Урок по теме: Правила дифференцирования.

11 класс.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Цели урока:

образовательные: обобщить, систематизировать материал темы по нахождению производной; закрепить правила дифференцирования; раскрыть для учащихся политехническое, прикладное значение темы;

развивающие: осуществить контроль усвоения знаний и умений; развить и совершенствовать умения применять знания в измененной ситуации; развить культуру речи и умение делать выводы и обобщать;

воспитательные: развить познавательный процесс;воспитать у учащихся аккуратность при оформлении, целеустремленность.

Оборудование: кодоскоп, экран; карточки; компьютеры; таблица;

ХОД УРОКА

I. Проверка домашнего задания.

1. Заслушать сообщения учащихся по примерам применения производных.

2. Рассмотреть примеры применения производной в физике, химии, технике и других отраслях, предложенные учащимися.

II. Актуализация знаний.

Учитель: Дать определение производной функции.

Какая операция называется дифференцированием?

Какие правила дифференцирования используются при вычислении производной? (К доске приглашаются желающие учащиеся).

производная суммы; производная произведения; производная, содержащая постоянный множитель; производная частного; производная сложной функции;

Приведите примеры прикладных задач, приводящих к понятию производной.

Ряд частных задач из различных областей наук.

Задача № 1. Тело движется по прямой согласно закону х(t). Запишите формулу для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t.

Задача № 2. Радиус круга R изменяется по закону R = 4 + 2t2. Определите, с какой скоростью изменится его площадь в момент t = 2 с. Радиус круга измеряется в сантиметрах. Ответ: 603 см2/с.

Задача № 3. Материальная точка массой 5 кг движется прямолинейно по закону

S(t) = 2t +  , где S - путь в метрах, t – время в секундах. Найдите силу, действующую на точку в момент t = 4 с. Ответ: Н.

Задача № 4. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол 3t - 0,1t2 (рад). Найдите: а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 7с; б) в какой момент времени маховик остановится. Ответ: а) 2,86 ; б) 150 с.

Примерами применения производной также могут служить задачи на нахождение: удельной теплоемкости вещества данного тела, линейной плотности и кинетической энергии тела и т.д.

III. Выполнение дифференцированных заданий.

Желающие выполнять задания уровня “А”, садятся за компьютер и выполняют тест с программированным ответом. (Приложение.)

ТЕСТ:

1. Найдите значение производной функции  х-18/х в точке хٍ₀= 3.

1) 2; 2) 0; 3) – 2; 4) – 3.

2. Найдите значение производной функции у = хе^х в точке х₀ = 1.

1) 2е; 2) е; 3) 1 + е; 4) 2 + е.

3. Решите уравнение f ^΄(x) = 0 , если f (x) = (3x2 + 1)(3x2 – 1).

1) ±1/ √3  2) 2; 3) ±√3 4) 0.

4. Вычислите f ¹ (1), если f (x) = (x² + 1)(x³ – x).

1) 0; 2) 2; 3) – 2; 4) 4.

5. Найдите значение производной функции f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) в точке t₀ = 1.

1) – 8; 2) 8; 3) 6; 4) – 6.

6. Точка движется прямолинейно по закону: S(t) = t³ – 3t². Выбери формулу, которая задаёт скорость движения этой точки в момент времени t.

1) t² – 2t; 2) 3t² – 3t; 3) 3t² – 6t; 4) t² + 6t.

Ответы к тесту: 1-1;  2-1; 3-4; 4-4; 5-2; 6-3.

Остальные учащиеся выполняют задание уровня “В” и “С” (по выбору) в тетрадях. Каждому ученику предоставляется весь объем заданий вместе с дополнительной частью. В зависимости от уровня математической подготовки предлагается форма работы: индивидуальная или работа в группах.

В 1. Тело, масса которого m = 5 кг, движется прямолинейно по закону s = l – t + t² (где s измеряется в метрах, t – в секундах). Найти кинетическую энергию тела mv²/2 через 10 с после начала движения. Ответ: 902,5 Дж.

В 2. Выяснить при каких значениях х производная функции принимает положительные значения. f(x) = (x+2)²√х. Ответ: х > 0;

В 3. Тело движется по прямой так, что расстояние S (в метрах) от него до точки М этой прямой изменяется по закону S(t) = t² + t +2 (t- время движения в секундах). Через сколько секунд, после начала движения, мгновенная скорость тела будет равна 5 м/с? (ЕГЭ, демонстрационный вариант 2005 года). Ответ: 2 сек.;

В 4. Найти производную дроби. .(х³√х+3х+18)/³√х   Ответ: (2х+³√х⁴-6)/ ³√х⁴

IV. Домашнее задание.